因果推論筆記（二）：Causal Effect

Intro

上一篇筆記中簡單敘述因果推論的重要性，以及與統計推論結合如何實現，這份筆記將會從數學符號起手，來介紹counterfactual的架構，並且得到causal effect。在開始之前先舉個實際上的例子：我們想要評估炎性乳腺癌 (Inflammatory breast cancer)的病患中，如果施行三合一療法 (\(S\))後，存活與否 (\(Y\)) 的差別。下面將會以這個舉例貫穿全文。

Counterfactual notation and Average causal effect

先回到統計上的符號，在統計中通常大寫代表了隨機變數 (random variables)，因此我們在建構這些符號時，也是以隨機變數的精神來思考。首先我們會有兩個平行宇宙，在第一個宇宙中某病人施行了三合一療法，被我們標記為\(Y_i(s=1)\)，即使是在這個施行三合一療法的宇宙中，病人是否存活仍然存在著不確定性，亦即\(Y_i(s=1)\)也是一個隨機變數，我們會以一個機率模型描述他；同理，在另一個平行宇宙中該病人並未施行三合一療法，我們將其標為另一個隨機變數\(Y_i(s=0)\)，若\(Y_i(s=1)-Y_i(s=0)\neq 0\)，即是有individual causal effect，而這裡的\(Y(s)\)，通常稱之為counterfactual outcome或是potential outcome。然而，我們僅有接受治療或未接受治療中的一個情況發生，若某病人實際上接受治療 (\(S\)=1)，則counterfactual outcome中 \(Y_i(s=1)=Y_i|(S=1)\)（e.g. 具有相同的p.d.f.），也就是我們觀察到的outcome等於counterfactual outcome，這性質我們稱之為causal consistency，以白話文來敘述就是如果某病人在物理世界中接受某個治療，平行宇宙中同樣接受治療的該病人會具有相同的歷程。

由於不可能在現實中找到同一個人同時接受與不接受治療，因此\(Y_i(s=1)\)與\(Y_i(s=0)\)必然有一個是觀察不到(missing data，同樣的因果推論也是在處理missiing data的問題！) ，那就無法得到這個病人的individual causal effect，此處我們需要Average causal effect來協助我們找到群體治療與否的影響，也就開始會有機率與統計的介入，此處除了一樣需要randomization來確保兩個不同治療之下的病人群體是類似的之外，也需要這個群體足夠大以滿足大樣本性質來幫助我們找到類似的人。Average causal effect的定義相當簡單，由於我們推論的是群體資訊，因此average causal effect的關係式為\(P[Y(s=1)]\neq P[Y(s=0)]\)，又或者是\(E[Y(s=1)]\neq E[Y(s=0)]\)，更廣義的來說，我們也可以用中位數或者是empirical distribbution來定義average causal effect，只要causal effect是兩個不同counterfactual outcome各自的marginal distribution的函數相互比較即可。

Causal effect measure and Association measure

有了前述的關係式，我們得以創造因果推論上的假說檢定\(H_0: P[Y(s=1)=1]= P[Y(s=0)=1]\)，方便我們量測average causal effect的estimand有以下幾種：

\[\begin{cases} \text{Causal risk difference:} &P[Y(s=1)=1]- P[Y(s=0)=1]=0\\ \text{Causal risk ratio:} &\dfrac{P[Y(s=1)=1]}{P[Y(s=0)=1]}=1\\ \text{Causal odds ratio:} &\dfrac{P[Y(s=1)=1]/P[Y(s=1)=0]}{P[Y(s=0)=1]/P[Y(s=0)=0]}=1\\ \text{Number needed to treat:} &NNT=\dfrac{-1}{P[Y(s=1)=1]- P[Y(s=0)=1]} \end{cases}\]

然而，這跟平常所學的似乎不太一樣？考慮association的上述estimands可以表示為：

\[\begin{cases} \text{risk difference:} &P[Y=1|S=1]- P[Y=1|S=0]=0\\ \text{risk ratio:} &\dfrac{P[Y=1|S=1]}{P[Y=1|S=0]}=1\\ \text{odds ratio:} &\dfrac{P[Y=1|S=1]/P[Y=0|S=1]}{P[Y=1|S=0]/P[Y=0|S=0]}=1 \end{cases}\]

以下借用過去的投影片來描述這兩者有何不同之處

物理世界中我們能觀察到的資料就是左邊的方形，我們可以看到如果是相關性，我們是在比較觀察到不同\(S\)條件下個別的\(Y\)，而因果則是將相關性比較中缺漏的部分補成完整的方形，也就是在比較如果整個群體在不同\(S\)條件下的\(Y\)

因此若是觀察到的資料會因為\(S\)的關係而產生不一樣的分配（如方形中的藍點），很顯然能發現相關性在此刻不等於因果

而\(S\)若對於藍點的分配並無影響，也就是如果沒有干擾因子，則相關性就能等於因果！

(To be continued)